Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng \(\forall M\in\left(O\right)\)khi và chỉ khi\(MA^2+MB^2+MC^2=2BC^2\)
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cung BC.
a) Chứng minh rằng MA = MB + MC
b) Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng \(\frac{MD}{MB}+\frac{MD}{MC}=1\)
c) Tính tổng MA^2 + MB^2 MC ^2 theo R.
Cho (O; R) đường kính AB. M thuộc (O); (M khác A; B, MA < MB) . Trên tia MB lấy N sao cho MA = MN. Dựng hình vuông AMNP. Kéo dài MP cắt (O) ở C (C khác M ).
1) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân.
2) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMB . Chứng minh rằng tứ giác AINB nội tiếp.
3) Chứng minh rằng tam giác BNC cân. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp AINB theo R .
1,
Tam giác ABC có CA=CB và ACB=90 => ACB vuông cân
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm của cung nhỏ BC.Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB. Chứng minh rằng MA =MB + MC
Ta có: ∆ ABD = ∆ CBM (cmt)
suy ra: AD = CM
Ta có: DM = BM ( tam giác MBD đều )
mà AM = AD + DM
suy ra: MA = MC + MB
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm nằm trên cung nhỏ BC. Chứng minh rằng MA = MB + MC.
Nếu được sử dụng định lú Ptoleme thì bài này chứng minh rất đơn giản.
Không được sử dụng Ptoleme thì chúng ta dựng hình:
Dựng đường tròn tâm M bán kính MC cắt AM tại D \(\Rightarrow MC=MD\)
Mà \(\widehat{CMA}=\widehat{CBA}\) (cùng chắn cung AC) \(\Rightarrow\widehat{CMA}=60^0\)
\(\Rightarrow\Delta MCD\) đều \(\Rightarrow\widehat{MCD}=60^0\)
Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACD}+\widehat{DCB}=60^0\\\widehat{BCM}+\widehat{DCB}=60^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BCM}\)
Đồng thời \(AC=BC\) ; \(CD=CM\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BCM\) (c.g.c)
\(\Rightarrow AD=BM\)
\(\Rightarrow AM=AD+DM=BM+CM\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (2)
Cho tam giác ABC nhọn (ABAC) nội tiếp đường tròn (O) . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Vẽ đường cao BF của tam giác ABC. Từ F kẻ đường thẳng song song với MA cắt AB tại E. a) chứng minh rằng MA^2MB.MC suy ra MC/MBAC^2/AB^2b) CE cắt BF tại H. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp, suy ra AH vuông góc BC tại Dc) gọi I là trung điểm BC. Chứng minh bốn điểm E,F,D,I cùng nằm trên một đường trònd) từ H vẽ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB,AC theo thứ tứ tại P,Q. Chứng minh H là trung đ...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Vẽ đường cao BF của tam giác ABC. Từ F kẻ đường thẳng song song với MA cắt AB tại E.
a) chứng minh rằng MA^2=MB.MC suy ra MC/MB=AC^2/AB^2
b) CE cắt BF tại H. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp, suy ra AH vuông góc BC tại D
c) gọi I là trung điểm BC. Chứng minh bốn điểm E,F,D,I cùng nằm trên một đường tròn
d) từ H vẽ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB,AC theo thứ tứ tại P,Q. Chứng minh H là trung điểm PQ
a: Xét ΔMBA và ΔMAC có
góc MAB=góc MCA
góc M chung
=>ΔMBA đồng dạng với ΔMAC
=>MB/MA=MA/MC
=>MA^2=MB*MC
=>MC/MB=AB^2/AC^2
b: EF//AM
AM vuông góc OA
=>EF vuông góc OA
=>góc AEF+góc OAE=90 độ
=>góc AEF+(180 độ-góc AOB)/2=90 độ
=>góc AEF+90 độ-góc ACB=90 độ
=>gócAEF=góc ACB
=>góc BEF+góc BCF=180 độ
=>BEFC nội tiếp
=>góc BEC=góc BFC=90 độ
Xét ΔABC có
BF,CE là đường cao
BF căt CE tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc CB tại D
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC nhọn (ABAC) nội tiếp đường tròn (O) . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Vẽ đường cao BF của tam giác ABC. Từ F kẻ đường thẳng song song với MA cắt AB tại E. a) chứng minh rằng MA^2MB.MC suy ra MC/MBAC^2/AB^2b) CE cắt BF tại H. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp, suy ra AH vuông góc BC tại Dc) gọi I là trung điểm BC. Chứng minh bốn điểm E,F,D,I cùng nằm trên một đường trònd) từ H vẽ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB,AC theo thứ tứ tại P,Q. Chứng minh H là trung đ...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Vẽ đường cao BF của tam giác ABC. Từ F kẻ đường thẳng song song với MA cắt AB tại E.
a) chứng minh rằng MA^2=MB.MC suy ra MC/MB=AC^2/AB^2
b) CE cắt BF tại H. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp, suy ra AH vuông góc BC tại D
c) gọi I là trung điểm BC. Chứng minh bốn điểm E,F,D,I cùng nằm trên một đường tròn
d) từ H vẽ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB,AC theo thứ tứ tại P,Q. Chứng minh H là trung điểm PQ
a: Xét ΔMBA và ΔMAC có
góc MAB=góc MCA
góc M chung
=>ΔMBA đồng dạng với ΔMAC
=>MB/MA=MA/MC
=>MA^2=MB*MC
=>MC/MB=AB^2/AC^2
b: EF//AM
AM vuông góc OA
=>EF vuông góc OA
=>góc AEF+góc OAE=90 độ
=>góc AEF+(180 độ-góc AOB)/2=90 độ
=>góc AEF+90 độ-góc ACB=90 độ
=>gócAEF=góc ACB
=>góc BEF+góc BCF=180 độ
=>BEFC nội tiếp
=>góc BEC=góc BFC=90 độ
Xét ΔABC có
BF,CE là đường cao
BF căt CE tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc CB tại D
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính AI. Điểm M tùy ý trên cung nhỏ AC (M khác A, M khác C) . Kẻ tia Mx là tia đối của tia MC.1) Cứng minh rằng MA là tia phân giác của tia BMx.2) Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD - MC , gọi K là giao điểm thứ hai của dc với đường tròn tâm (O) . Chứng minh rằng tứ giác MIKD là hình bình hành.3) Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì D di động trên cung tròn cố định.
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính AI. Điểm M tùy ý trên cung nhỏ AC (M khác A, M khác C) . Kẻ tia Mx là tia đối của tia MC.
1) Cứng minh rằng MA là tia phân giác của tia BMx.
2) Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD - MC , gọi K là giao điểm thứ hai của dc với đường tròn tâm (O) . Chứng minh rằng tứ giác MIKD là hình bình hành.
3) Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì D di động trên cung tròn cố định.
a. Do ABCM là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{AMx}=\widehat{ABC}\)
Lại do tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
Mà \(\widehat{ACB}=\widehat{AMB}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Vậy nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMx}\) hay MA là phân giác góc \(\widehat{BMx}.\)
b. Do tam giác ABC cân tại A nên AI là phân giác góc BAC. Vậy thì cung BI = cung CI hay góc \(\widehat{BMI}=\widehat{IKC}\)
Từ đó suy ra \(\widehat{DMI}=\widehat{IKD}\) (Cùng phụ với hai góc trên)
Lại có do MD = MC \(\Rightarrow\widehat{MDK}=\widehat{MCK}=\widehat{MIK}\)
Tứ giác DMIK có các góc đối bằng nhau nên nó là hình bình hành.
c. Do MA là phân giác góc BMx nên MA thuộc đường phân giác góc DMC.
Lại có MD = MC nên MA chính là đường trung trực của DC.
Vậy thì DA = AC, hay D luôn thuộc đường tròn tâm A, bán kính AC.
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC đều ngoại tiếp (O), M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BC, AM giao BC tại D. Chứng minh rằng:
a, MA=MB+MC
b, MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC
c, Khi điểm M di chuyển trên cung nhỏ BC thì tổng 2 bán kính của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ACD không đổi
cho 2 đường tròn o và o tiếp xúc ngoài tại a. Trên tia Ax vuông góc với OO' lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O),tiếp tuyến MC với đường tròn (O'), tia BO cắt tia CO tại N a. Chứng minh : MA=MB=MC b. Chứng minh tứ giác MBNC nội tiếp c. Chứng minh BC ⊥ MN
a.Có MA,MB là tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M (gt)
=> MA=MB
Có MA,MC là tiếp tuyến của (O') cắt nhau tại M (gt)
=> MA=MC
Bắc cầu ta được MA=MB=MC
Đúng 0
Bình luận (0)